Eureka. Diario de Gauss

Eureka. Diario de Gauss
Todo número es suma de tres números triangulares

miércoles, 28 de diciembre de 2016

Día de los inocentes

En España el día 28 de diciembre es el "día de los inocentes". Es un día para gastar bromas a los amigos, "inocentadas" se llaman, y hasta los períodicos inventan noticias falsas en tono jocoso. Otros días también las inventan pero sin ese tono de broma.

Triángulos y alturas, una buena broma.

En un triángulo cualquiera ABC, trazas las alturas de relativas a los tres lados.
Si unes los tres pies de las alturas obtienes un nuevo triángulo A1, B1, C1.
Observa atentamente este nuevo triángulo y las alturas.


Aunque no te lo creas, te digo que:

"Las tres alturas del primer triángulo ABC, son, curiosamente, las bisectrices de los ángulos del segundo triángulo"

¿Se trata de una inocentada, o no?

Descúbrelo tú mismo.

viernes, 2 de diciembre de 2016

Tangentes enteras

La geometría elemental, la de Euclides, nos depara a veces sorpresas agradables. Aquí tienes un buen ejemplo. Un regalo para despedir bien el año.

Las dos circunferencias de la figura son iguales y tangentes en el punto T. Su radio mide raíz de 2.
Trazamos la recta tangente a la segunda circunferencia que pasa por A, y la recta tangente a esta circunferencia en el punto B. Ambas tangentes se cortan en el punto D.


Te aseguro que las medidas de los segmentos AD y BD son dos números enteros.
¿Serías capaz de demostrarlo?
Suerte.

Nota: No vale utilizar GeoGebra.


viernes, 7 de octubre de 2016

Paisajes fractales en Dispar-ART

El pasado día 28 de septiembre se hizo, en la sala de arte Ra del Rey, c/ Reina 11, de Madrid, la presentación de la revista dispar-ART, La revista más cara del mundo según se anuncia.
Y es verdad. Sólo se hacen 20 ejemplares de ella, compuestos por obras originales en cada uno de ellos.
La mitad se envían a los más prestigiosos museos del mundo y los otros 10 ejemplares se venden a un precio...desorbitado.
Al fin y al cabo es comprar casi 70 originales de 70 artistas, poetas y científicos de prestigio.



Mi contribución a este número de la revista son 20 "paisajes fractales" generados con el programa Ultra Fractal 5. Y sin retocar con ningún programa fotográfico.

Para conseguirlos sólo hay que navegar por el proceloso mar del Caos, buscando dentro de esos mundos llenos de irregularidades un poco de orden y armonía

¡Orden en el caos! La búsqueda de un sueño.

Aquí os dejo dos muestras:

Mar azul

Luna 1

Un mundo de sorpresas.

sábado, 9 de julio de 2016

Si Euclides hubiese tenido GeoGebra

Los Elementos de Euclides son una de las joyas de las matemáticas de todos los tiempos.

Y dentro de esa joya hay algunas proposiciones espectaculares. Unas de las más llamativas son las del Libro XIII, las que van de la 13 a la 17.

En ellas Euclides nos muestra aristas de los poliedros regulares inscritos en una esfera de radio R.

La construcción es impresionante, como un castillo de fuegos artificiales.

Os suena, seguro...


Y las relaciones entre ellas constituye un magnífico baile de números racionales:

Te dejo, aquí, una reproducción de la construcción de Euclides que hice con GeoGebra: 

 Euclides-Geogebra

¡Ay, si Euclides hubiese tenido GeoGebra!

miércoles, 6 de julio de 2016

El joven Gauss y el polígono regular de 17 lados

Lectura de verano

El sorprendente encuentro entre la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la cabeza de un joven de 18 años. Entonces no había discotecas...

 Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda, más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás.

Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica. 

    Justo un mes antes de cumplir los 19 años.

Puedes disfrutar de un paseo veraniego por esta fascinante historia de las matemáticas aquí:   http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/decabeza/58decabeza.pdf

Construcción del polígono regular de 17 lados
Método de Gauss(1796), simplificada por H.W. Richmond (1893)

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AA ́ y VV ́

2. Se obtiene un punto B, sobre el radio OA, tal que el segmento OB es la cuarta parte de OA

3. Se obtiene el punto C, sobre OV, tal que el ángulo OBC es la cuarta parte del ángulo OBV ( hay que bisecar dos veces un ángulo)

4. Se obtiene un punto D, sobre el diámetro VV ́, tal que el ángulo DBV sea de 45º ( se puede hacer bisecando un ángulo recto)

5. Se obtiene G, mitad del segmento DV, se dibuja la circunferencia con centro G y radio GV. Esta circunferencia corta al radio OA en el punto E.

6. Se dibuja la circunferencia con centro C y radio CE, dicha circunferencia corta a VV ́ en dos puntos: F y G

7. Se levantan perpendiculares a VV ́, pasando por F y G , que cortan a la circunferencia en V3 y V5.

8. La mitad del arco V3V5, nos da un punto T. El segmento V 3T es el lado del polígono regular de 17 lados.


domingo, 12 de junio de 2016

El enigma de los lados del triángulo

Los triángulos no dejan de sorprendernos.
Ocultan misterios en apariencia simples pero también se empeñan a veces en hacer trivial lo complejo.

Este no es el caso de hoy. Os lo muestro

En una circunferencia de radio 4, dividimos su diámetro en 4 partes iguales mediante los puntos B y C.
Por el punto C trazamos una cuerda que forma con el diámetro un ángulo de 43º.
Formamos un triángulo cuyos vértices son los extremos de la cuerda y el punto B.
Y...¡sorpresa! ¿Cuánto suman... los cuadrados de los lados del triángulo?



No vale utilizar trigonometría. ¡Pura geometría euclídea!


martes, 7 de junio de 2016

Un triángulo peculiar

Para los que se han examinado de selectividad y para los que no, también.

Pues sí. Presumía de no ser un triángulo cualquiera.
Tenía una peculiaridad que la hacía único. Tenía que ver con las medidas de sus ángulos.
Mejor aún, con los valores de las tangentes de sus ángulos.
 Y poniendo una voz engolada lo explicaba a todo el que quisiera escuchar y a muchos que no querían:

" La suma de las tangentes de mis tres ángulos vale lo mismo que el producto de esas tangentes"

¡Y era cierto!

¿Cuánto medían sus ángulos?

Si lo descubres...NO lo divulgues...


lunes, 11 de abril de 2016

El misterio del pentágono inscrito

De vez en cuando la geometría nos sorprende con situaciones pintorescas. Y los pentágonos son una caja de sorpresas. ¿Sabías que?:

En todo pentágono ABCDE, inscrito en una circunferencia, el producto de las distancias de un vértice A a las rectas BC y DE coincide con el producto de las distancias de ese vértice A a las rectas BE y CD.

 Geogebratube

¿Por qué?

Misterios matemáticos. Si no te lo crees compruébalo con GeoGebra

miércoles, 2 de marzo de 2016

Entre maestros 2ª parte

La geometría del huevo, las ecuaciones de las flores y de las calabazas o de las conchas.
Y de Pitágoras a Mandelbrot, un paseo por la historia de las matemáticas.
Sí, las matemáticas son el lenguaje con el que está escrita la Naturaleza... Pero, ¿cómo convencemos de eso a los alumnos de secundaria?
Pues con un poco de imaginación.
No te lo cuento, te lo muestro en este vídeo.


Por cierto, aunque suene raro, la ecuación de casi cualquier flor es algo parecido a esto:

r = a·cos (n·θ) + b

¡En coordenadas polares!
Tres constantes y un coseno para alegrarnos la vista

domingo, 28 de febrero de 2016

Entre maestros


 Video Conferencia 1ª parte
Vídeo de la presentación

Entre maestros. Bonito título y mejor iniciativa.

El sábado 20-2-2016 tuve el placer de compartir la mañana con mis jóvenes amigos de la SMPM "Emma Castelnuovo" para hablar de matemáticas y, sobre todo, de cómo enseñar y cómo aprender matemáticas.

Empecé con una reflexión de qué hacemos en clase y qué deberíamos hacer: visualizar, investigar, descubrir,  aprender con la historia de las matemáticas y con el juego descubrir su belleza. Entre maestros. AP

 Presentaciones

Además de una parte de mi vida relacionada con la reina de las ciencias, les presenté mi pentagrama de la didáctica de las matemáticas y un menú completo formado por tres platos virtuales, de ejemplos concretos, de cómo "hacer matemáticas" en clase de matemáticas, introduciendo auténticas investigaciones autónomas para hacer con los alumnos.

En SlideShare están tres de esos "platos": la geometría del huevo (práctica para 4º de ESO) y las ecuaciones de las flores (práctica para 1º de bachillerato)
 Geometría del huevo

 Ecuaciones de las flores

 Presentación: La armonía


Fue una jornada entrañable y productiva. Gracias amigos.

viernes, 26 de febrero de 2016

Recuperando la memoria del IES Salvador Dalí

Desde 1988, hasta mi jubilación en 2014, mi  destino docente fue el Instituto Salvador Dalí de Madrid.

A partir del año 99 o 2000 el departamento de matemáticas venía manteniendo una página web de la que fui autor y mantenedor. Estaba ubicada, como la de tantos centros públicos de todo el país, en los servidores del PNTIC-ITE del Ministerio de Educación.  

Hasta que la CAM, decidió que las webs de "sus" centros no podían estar en sitios extraños (el MEC debía ser un sitio sospechoso). Curiosamente las que estaban ubicadas en servidores privados no tuvieron problemas. Tras la llegada de Wert al MECD desaparecieron de los servidores del INTEF todas las web de centros públicos españoles. Dilapidando, de paso, el esfuerzo, los materiales y las horas  de trabajo dedicadas durante unos cuantos años de miles de profesores voluntariosos luchadores por la implantación de las TIC en las aulas. Y a punto estuvieron de desaparecer también las páginas personales de  miles de profesores y profesoras.  (Ver el post La conjura de los necios). 

Durante un tiempo el material histórico de esa página estuvo colgado en la página oficial del IES Salvador Dalí en educa.madrid.org. Pero..., el nuevo director, erigido en webmaster justiciero, al estilo de los viejos señoritos andaluces de hace un siglo, ha decidido que eso no debía ser interesante. ¡Allá él y sus circunstancias!

En la última sesión de Entre maestros de la SMPM Emma Castelnuovo hablé de un premio de innovación que la CAM dio al Dpto de Matemáticas del Dalí, titulado: Más allá de la tiza y la pizarra. Materiales informáticos, audiovisuales y manipulables para el tratamiento de la diversidad en la ESO.

 Proyecto de innovación


He conseguido recuperar parte de los materiales de ese proyecto y otros del departamento y los he integrado en mi página web. Algunos materiales y algunas ideas no caducan. 

Al fin y al cabo, yo comparto más la filosofía de los viejos campesinos andaluces: ¡La tierra para el que la trabaja!



miércoles, 3 de febrero de 2016

Dividir un triángulo en dos partes iguales

Parece fácil dividir un triángulo en dos partes de igual área.

Pero no lo es tanto si imponemos condiciones a la forma de hacerlo. Por ejemplo: Dado un triángulo ABC y un punto cualquiera D de uno de sus lados, dividir el triángulo en dos partes de igual área mediante una recta que pase por el punto D.
Se trata de encontrar el punto F, en uno de los otros dos lados del triángulo. Decirlo es fácil... Pero encontrar el punto F no es tan simple.
Puedes usar GeoGebra y entonces el problema se convierte en casi un juego.
Pero la solución general la encontró en el siglo XIII Jordano de Nemore, un monje dominico que sucedió a Santo Domingo de Guzmán como superior de la orden.
Se encuentra en el Liber Philotegni, también conocido como De triangulis. ¡Y por supuesto sin utilizar GeoGebra!

¿Te atreves a intentarlo? La solución es fina y elegante. Si lo consigues descubrirás una joya de más de 800 años.

Por cierto, el bueno de Jordano es también el autor de un álgebra avanzada publicada en 1230, titulada de De Numeris datis,  donde da métodos generales para resolver ecuaciones de 2º grado y...¡utiliza letras para designar cantidades arbitrarias!
Por si no te lo crees: a, b, c... para los coeficientes y x para la incógnita.


No todo va a ser Fibonacci.